Multi-Skalen-Analyse und Wavelet Transformation

Wavelets stellen strukturierte Basissysteme für viele wichtige Funktionenräume zur Verfügung. Die Generierung eines Waveletbasissystems erfolgt durch eine diskrete Skalierung und Verschiebung eines vorher gewählten Mutterwavelets. Das Mutterwavelet ähnelt einer zeitlich begrenzten, kleinen Welle. Die Skalierung dieses Mutterwavelets ermöglicht eine Bestimmung der Frequenzanteile der zu analysierenden Funktion. Durch die Verschiebung der skalierten Versionen des Mutterwavelets entlang der Zeitachse werden die jeweiligen Frequenzen zeitlich lokalisiert.

Die Berechnung der Entwicklungskoeffizienten (Wavelettransformation) ist somit eine Abbildung in die Zeit-Skalierungs(Frequenz)-Ebene und ermöglicht die gleichzeitige Beschreibung des Zeit- und Frequenzverhaltens eines nichtstationären Signals im Rahmen der begrenzten Zeit- und Frequenzauflösung (Heisenbergsche Unschärferelation). Darin liegt ein entschiedener Vorteil gegenüber der klassischen Fouriertransformation, bei der die Abhängigkeit von der Zeit verloren geht und man nur die reine Frequenzverteilung des Signals gewinnt. Durch nachträgliche Gewichtung mit einer Fensterfunktion ist hier eine zeitliche Auflösung möglich.

Als Einstieg in das Gebiet der Wavelets wurde die Multi-Skalen-Analyse (MSA) aus-gewählt. Die MSA schafft eine hierarchische Ordnung im L²(R). Die MSA ist definiert über eine Kette von ineinandergeschachtelten Approximationsräumen V_i (), die bestimmte Eigenschaften zu erfüllen haben. Im Mittelpunkt steht dabei die zeitliche begrenzte Skalierungsfunktion, deren verschobene Versionen ein Basissystem für den Referenzraum V₀ bilden. Die skalierten (gedehnten oder gestauchten) und verschobenen Versionen dieser Funktion stellen entsprechend der Skalierung Basissysteme für die korrespondierenden V_i zur Verfügung.

Aus dieser Struktur lassen sich die Waveleträume W_i mit ihren Basisfunktionen konstruieren. Sie stellen die Komplementärräume zu dem jeweils übergeordneten Approximationsraum dar ( ).

Ein entschiedener Vorteil der MSA liegt in der einfachen Ableitung der Algorithmen zur schnellen diskreten Wavelettransformation.

Abb. 2: Zerlegung des Ausgangsraumes V₀ in V₃ , W₃, W₂, W₁